1.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^3-2m^2x^2-4x+m^2+1\)

\(f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên R

\(f\left(x\right)\) có bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm (1)

\(f\left(0\right)=m^2+1>0\) ; \(\forall m\)

\(f\left(1\right)=\left(m^2+1\right)-2m^2-4+m^2+1=-2< 0\) ;\(\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) (2)

\(f\left(2\right)=8\left(m^2+1\right)-8m^2-8+m^2+1=m^2+1>0\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\) (3)

\(f\left(-3\right)==-27\left(m^2+1\right)-18m^2+12+m^2+1=-44m^2-14< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-3\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-3;0\right)\) (4)

Từ (1); (2); (3); (4) \(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt

2.

Đặt \(t=g\left(x\right)=x.cosx\)

\(g\left(x\right)\) liên tục trên R và có miền giá trị bằng R \(\Rightarrow t\in\left(-\infty;+\infty\right)\)

\(f\left(t\right)=t^3+m\left(t-1\right)\left(t+2\right)\)

Hàm \(f\left(t\right)\) xác định và liên tục trên R

\(f\left(1\right)=1>0\)

\(f\left(-2\right)=-8< 0\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(t\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm với mọi m

3. Chắc ngoặc thứ là \(\left(2m^2-2m+4040\right)\) ?

\(\Leftrightarrow\left(m^2-m+2021\right)x^3-2\left(m^2-m+2020\right)x^2-4x+m^2-m+2021=0\)

Do \(m^2-m+2020>0\), đặt \(m^2-m+2020=n^2\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)x^3-2n^2x^2-4x+n^2+1=0\)

Quy về bài số 1

c.

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)+cos\left(90^0-78^0+x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2cos\left(x+12^0\right)=1\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+12^0=60^0+k360^0\\x+12^0=-60^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=48^0+k360^0\\x=-72^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

2.

Do \(-1\le sin\left(3x-27^0\right)\le1\) nên pt có nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\ge-1\\2m^2+m\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m+1\ge0\left(luôn-đúng\right)\\2m^2+m-1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)

a.

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+15^0=arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x+15^0=-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-15^0+arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x=-15^0-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

b.

\(2x-10^0=arccot\left(4\right)+k180^0\)

\(\Rightarrow x=5^0+\dfrac{1}{2}arccot\left(4\right)+k90^0\)

2.

Phương trình \(sin\left(3x-27^o\right)=2m^2+m\) có nghiệm khi:

\(2m^2+m\in\left[-1;1\right]\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\le1\\2m^2+m\ge-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)

a.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x^2-2mx+m^2-m+3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2m+m^2-m+3\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m^2-m+3\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m+4\ne0\left(\text{luôn đúng}\right)\\m>3\end{matrix}\right.\) 

Vậy \(m>3\)

b.

Phương trình có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi: \(mx^2+3x+m=0\) có 2 nghiệm pb khác 3

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\9m+9+m\ne0\\\Delta=9-4m^2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{9}{10}\\-\dfrac{3}{2}< m< \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Dễ thấy 2 PT trên đều có 2 nghiệm phân biệt.

Đối với PT $(1)$, nếu $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của  nó, áp dụng định lý Viet ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=3\\ x_1x_2=-m^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{3}{m^2}\); \(\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=\frac{-1}{m^2}\)

Theo định lý Viet đảo, $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}$ là nghiệm của PT:

\(x^2+\frac{3}{m^2}x-\frac{1}{m^2}=0\Leftrightarrow m^2x^2+3x-1=0\)

Do đó ta có đpcm.

\(mx-x-m+2=0\)

\(x\left(m-1\right)=m-2\)

Nếu m=1 ⇒ \(0x=-1\) (vô nghiệm)

Nếu m≠1 ⇒ \(x=\dfrac{m-2}{m-1}\)

Vậy ...

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\cdot\left(m+1\right)\cdot m\)

\(=4m^2-4m+4-4m^2-4m\)

\(=-8m+4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\-8m+4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-8m>-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)

a/ Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4.\left(2m-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow13-8m>0\)

\(\Leftrightarrow m< \frac{13}{8}\)

b/ Để phương trình có nghiệm kép thì

\(\Delta=1^2-4.m=0\)

\(\Leftrightarrow m=0,25\)

Nghiệm kép đó là: \(x=-0,5\)

b) (x+1/2)^2=1/4-m=> m=1/4

có một sự kỳ lạ...???

ĐKXĐ: \(1\le x\le2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x^2+3x-2=0\\x^2-2x+m=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\\x^2-2x+m=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi:

TH1: (1) vô nghiệm \(\Leftrightarrow m>1\)

Th2: 2 nghiệm của (1) đều không thuộc \(\left[1;2\right]\)

(1) \(\Leftrightarrow x^2-2x=-m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^2-2x\)

\(f\left(1\right)=-1\) ; \(f\left(2\right)=0\)

Để hàm có 2 nghiệm đều không thuộc khoảng đã cho thì \(-m>0\Leftrightarrow m< 0\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)